Λέγεται ότι το όνομα του χωριού οφείλεται σε κάποιο ασκληπιείο που υπήρχε στην αρχαιότητα, του οποίου όμως δεν έχει βρεθεί κανένα ίχνος. Σήμα κατατεθέν του Ασκληπιού είναι το μικρό κάστρο των ιπποτών του αγίου Ιωάννη, που βρίσκεται στην κορυφή του λόφου. Χτίστηκε από τους Βυζαντινούς και ανακαινίστηκε από το Μάγιστρο Pierre d’ Aubusson το 1474-79. Στο κέντρο του Ασκληπιού βρίσκεται η αρχαιότερη ίσως βυζαντινή εκκλησία του νησιού, η Κοίμηση της Θεοτόκου.